0 Comments

Suma cyfr jego generatorów nie może przekroczyć 25*9, więc jest liczbą co najwyżej 3-cyfrową.
A generatorów jest 4…
Jeden ma sumę 2, drugi 11, trzeci i czwarty mają sumy 3-cyfrowe.
Gościu co znalazł a(4) musiał mieć tęgi łeb na karku!
Dwa pierwsze generatory a(4) mają postać 10^24 + generator(a(2)), czyli 10^24 +{100, 91} i może to jest właściwy trop?

Mówimy, że liczba n generuje liczbę f(n), lub że n jest generatorem f(n)
Mała zmiana: nie 4 lata po bitwie pod Grunwaldem, tylko 4 lata przed. Koronacją Bolesława Chrobrego ma się rozumieć ;) Zwracam honor: to jest koszmarne. Choć bardziej może rozwiązujący, niż zadanie. Ciekawostka: natrafiłem na liczbę z mojego przykładu 1219, zupełnie przypadkiem, wtedy ją sobie wymyśliłem jako przykład zupełnie niezależnie od zadania właściwego, o którym myślałem, że już dawno rozwiązane…
Gdy a, b, k są liczbami naturalnymi takimi, że f(a) = f(b) oraz a,b < 10^k, i dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej x przyjmiemy a’ = x * 10^k + a oraz b’ = x * 10^k + b, to wtedy f(a’) = f(b’)
Mówiąc mniej formalnie: gdy liczby a i b są generatorami tej samej liczby p, to dopisując na początku liczb a i b pewną liczbę x (z uwzględnieniem zer wiodących w liczbach a i b, gdy są różnej długości) otrzymane liczby będą generatorami pewnej liczby q.
Dowód faktu:
Ponieważ liczba a’ składa się z cyfr wchodzących w skład liczb x i a (oraz być może pewnej liczby zer), zatem d(a’) = d(x) + d(a). Podobnie d(b’) = d(x) + d(b).
Mamy zatem f(a’) = a’ + d(a’) = x * 10^k + a + d(x) + d(a) = x * 10^k + d(x) + (a + d(a)) = x * 10^k + d(x) + f(a) oraz f(b’) = b’ + d(b’) = x * 10^k + b + d(x) + d(b) = x * 10^k + d(x) + (b + d(b)) = x * 10^k + d(x) + f(b). Ponieważ f(a) = f(b), zatem f(a’) = f(b’), co kończy dowód faktu.
Twierdzenie:
Niech a_i (dla i=1,2,…n) będzie ciągiem różnych poliwęglan liczb takich, że f(a_i) = 10^k + 1. Liczba 10^k + 1 posiada zatem n różnych generatorów. Dodatkowo zakładamy, że ten ciąg jest rosnący, tzn. a_i < a_j dla i < j oraz a_i = 1 (mod 9).
Wtedy istnieje ciąg liczb b_j (dla j=1,2,…,n,n+1), dla których f(b_j) = 10^l + 1, dla pewnej liczby l.
Dowód:
Przyjmujemy x = 10^m – 1, dla m = 10^k – 1. Liczba x składa się z m dziewiątek, zatem d(x) = 9m.
Definiujemy b_i = x * 10^(k+1) + a_i, dla i=1,2,…,n. Ponieważ a_i < a_j, zatem b_i b_n.
Zatem mamy określony ciąg b_j dla j=1,2,…,n,n+1, dla którego f(b_j) = 10^(m+k+1) + 1, czyli liczba 10^(m+k+1) + 1 ma przynajmniej n+1 generatorów. To kończy dowód twierdzenia poliwęglan.
Teraz wystarczy przyjąć a_1 = 91, a_2 = 100 i korzystamy z twierdzenia k-2 razy – za pierwszym razem jako ciąg wejściowy używamy ciagu (a_1, a_2), przy kolejnych razach używamy ciągu wygenerowanego w poprzednim kroku. W ten sposób otrzymujemy ciąg k liczb a_i, dla których f(a_i) = f(a_j).
Pisząc dowód twierdzenia uświadomiłem sobie, że nigdzie nie korzystam z faktu, który pojawił się na początku. Jednak nie usuwam tego faktu, bowiem znajdują się w nim obliczenia, które ułatwiają zrozumienie przekształceń zawartych w dowodzie twierdzenia.